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2.1 - Sommari
Numeri Reali - Sommario

A. Richiami sui Z, Q

Tutto sui numeri reali

Richiami sui Numeri Razionali

Richiami sui Numeri Razionali (propedeutica per studiare i numeri reali): la costruzione dei numeri interi ; la costruzione dei numeri razionali ; l'insufficienza di per rappresentare tutti i numeri. Dimostrazione dell'incommensurabilità di

1. La costruzione dei numeri interi

Osservazione 1 (la costruzione di a partire da ).

Osserviamo che a partire dai numeri naturali è possibile costruire un altro insieme numerico più completo che ci permette di fare altre operazioni (oltre alla somma e moltiplicazione), ovvero i numeri interi relativi (Zahl), che viene definita come in cui ad ogni numero positivo corrisponde ad un numero negativo per cui ci permette di fare una nuova operazione: ovvero la sottrazione .
Tuttavia questa non è sufficiente in quanto questa costruzione non ci permette di fare un'altra operazione molto importante, ovvero la divisione .

2. La costruzione dei numeri razionali

Osservazione 2 (la costruzione di a partire da , ).

Quindi a partire da è possibile costruire i numeri razionali (Quoziente), dove un numero è un quoziente di un numero intero e di un numero razionale ; I numeri razionali quindi ci permettono non solo di contare, ma anche di misurare, dato che possiamo precisamente misurare delle grandezze tramite questi numeri.
Tuttavia non posso misurare tutto; infatti se voglio descrivere un oggetto geometrico con i numeri, ovvero un quadrato con il lato , non posso misurare la lunghezza della diagonale del quadrato.
Infatti questo segmento si dice una grandezza incommensurabile.

Teorema 3 (l'incommensurabilità di ).

Non esistono tali che

DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 3 (l'incommensurabilità di ))
Qui ragioniamo per assurdo; ipotizziamo che la tesi sia vera invece che falsa, poi per trovare un assurdo, una contraddizione.

  1. Supponiamo che esistano tali che inoltre non è restrittivo supporre che questi non abbiano fattori in comune (quindi che siano ridotti ai minimi termini).
  2. Ora, è
  3. Considerando la scomposizione di in numeri primi, ovvero allora se è divisibile per un numero primo , allora per forza anche è divisibile per lo stesso numero primo, in quanto entrambi vengono moltiplicate per lo stesso .
  4. èèè
  5. Quindi sia che che sono pari, ciò vuol dire che hanno un fattore in comune (ovvero ); ciò contraddice quello che abbiamo detto all'inizio, ovvero che e sono ridotti ai minimi termini. Di conseguenza non è possibile che esistano e .

CONCLUSIONE. Quindi i numeri razionali non sono sufficienti per misurare la diagonale di un quadrato; infatti è impossibile definire un tale che .

B. Assiomi AMDOS dei R

Assiomi dei Numeri Reali
Assiomi dei Numeri Reali

Assiomi dei numeri reali ; Il gruppo abeliano , il campo ; assiomi fondamentali di ; l'assioma caratterizzante di (di Dedekind)

1. Preambolo

Osservazione 1 (la necessità di costruire un nuovo insieme di numeri).

Dopo aver dedotto che i numeri razionali non sono abbastanza "estesi" per poter rappresentare alcuni numeri (come la misura di ), costruiamo i numeri reali con degli assiomi e definendo delle operazioni di addizione e moltiplicazione. Nominiamo questi assiomi come A), M), O) e S).

Definizione 2 (il campo dei reali).

Definiamo quindi il campo ovvero un insieme dotato di due operazioni che hanno le proprietà elencate qua sotto.

2. Assiomi A)

#Assioma
Esiste un insieme in cui viene definita la somma per cui valgono le seguenti proprietà.
A1) La proprietà associativa: , A2) La proprietà commutativa: , A3) L'esistenza dell'elemento neutro : A4) L'esistenza dell'elemento opposto: Inoltre si dice che è un gruppo abeliano (dal matematico norvegese Abel).

3. Assiomi M)

#Assioma
E' definita in un'operazione di prodotto o moltiplicazione per cui:
M1) Proprietà associativa: , M2) L'esistenza dell'elemento neutro : M3) L'esistenza dell'elemento opposto: M4) Proprietà commutativa:

4. Assioma D)

#Assioma
E' possibile individuare una proprietà che collega le operazioni di somma e prodotto
D1) Proprietà distributiva:

5. Assiomi O)

#Assioma
In è definita una relazione d'ordine totale che chiamo e valgono le seguenti
O1) Compatibilità di dell'ordinamento con la somma: O2) Compatibilità di dell'ordinamento con il prodotto:

6. Assioma S) (di Dedekind o di separazione)

Osservazione 3 (la necessità di trovare un "assioma speciale" per i reali).

Notiamo che avendo definito con gli assiomi A), M), D) e O) questi non possono bastare, in quanto i numeri razionali godono delle stesse proprietà; infatti bisogna definire delle regole speciale, in particolare l'assioma di Dedekind, oppure nota come l'assioma di separazione.

#Assioma
S) Siano ; ( e sono non-vuoti),

  • supponendo che
  • allora per l'assioma S) Ovvero, graficamente, la figura S.1..

FIGURA S.1. (L'assioma di Dedekind)
Pasted image 20231009204435.png

Osservazione 4 (Dedekind non vale per ).

Questa proprietà non vale per , infatti se definiamo gli insiemi notiamo che tra e c'è un buco che non potrà mai essere colmato, in quanto . (dimostrazione più rigorosa sul file di Del Santo)

C. Intervalli

Intervalli
Intervalli

Definizione di intervalli. Intervalli limitati, aperti, chiusi, inscatolati e dimezzati. Alcuni esempi

1. Intervalli limitati

Definizione 1 (intervalli limitati).

Siano , con (ovvero ), allora definiamo le seguenti definizioni degli intervalli limitati:
Intervallo chiuso compresi gli estremi Intervallo semichiuso, escluso l'estremo sinistro Intervallo semichiuso, escluso l'estremo destro Intervallo aperto, esclusi gli estremi

FIGURA 1.1. (Alcuni esempi di intervalli limitati)
Pasted image 20231011161153.png

2. Intervalli illimitati

Definizione 2 (intervalli illimitati).

Se, invece consideriamo , definiamo allora i seguenti intervalli illimitati (o anche semirette):
Intervallo inferiormente illimitato Intervallo superiormente illimitato

Osservazione 3 (l'insieme dei reali è l'intervallo illimitato).

Si può definire anche come

Osservazione 4 (un insieme con un singolo elemento è degenere).

Può essere comodo pensare che anche l'insieme con un unico punto è un intervallo, e lo definiamo come un intervallo "degenere".

Osservazione 5 (l'infinito non è un numero).

Notare che e NON sono numeri reali, bensì dei semplici simboli. Se voglio, posso estendere l'insieme dei numeri reali tale che

3. Successione di intervalli

Definizione 6 (successione di intervalli chiusi e limitati).

Sia definita come una successione di intervalli chiusi e limitati.
Allora ove (quindi è un intervallo chiuso e limitato)

Intervalli inscatolati e dimezzati

Definizione 7 (intervalli inscatolati).

Gli intervalli si dicono inscatolati se ovvero graficamente la figura 3.1.

FIGURA 3.1. (Intervalli inscatolati)
Pasted image 20231011161217.png

Definizione 8 (intervalli chiusi, inscatolati e dimezzati).

Una successione di intervalli si dice di intervalli chiusi, inscatolati e dimezzati se ove il nuovo sottoinsieme ha gli elementi

Osservazione 9 (la lunghezza di un elemento di intervalli chiusi, inscatolati e dimezzati).

Notiamo che se prendiamo un allora la distanza tra e è ovvero la "metà della lunghezza del segmento di prima, ovvero ".
Ricorsivamente si mostra che la lunghezza diventa

D. Insiemi limitati, maggioranti, estremo superiore

Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore
Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore

Tutte le definizioni sugli insiemi limitati e illimitati, maggioranti e minoranti, massimi e minimi, e tutte le proprietà.

1. Insiemi limitati

Definizione 1 (insieme limitato superiormente).

Sia , si dice un insieme limitato superiormente se Graficamente, un insieme limitato superiormente si rappresenta con la figura 1.1..

FIGURA 1.1.
Pasted image 20231011161237.png

Esempio 2 (Esempio 1.1.).

Considero .
è limitato superiormente, in quanto risolvendo otteniamo l'insieme , e scegliendo si ha che entrambi elementi di sono minori di .

Definizione 3 (insieme limitato inferiormente).

si dice un insieme limitato inferiormente se Graficamente la si rappresenta come nella figura 1.2..

FIGURA 1.2.
Pasted image 20231011161248.png

Definizione 4 (insieme limitato).

si dice limitato se è sia limitato superiormente che inferiormente.

Esempio 5 (Esempio 1.2.).

è limitato.
Infatti se si scelgono per definizione risulta vero che questo intervallo è limitato.

Proposizione 6 (condizione necessaria e sufficiente dell'insieme limitato).

è limitato se e solo se tale che

DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (Proposizione 6 (condizione necessaria e sufficiente dell'insieme limitato))
Da quanto visto in Connettivi, basta dimostrare che entrambe le implicazioni sono vere; ovvero

  1. èche graficamente rappresenta la figura 1.3.; quindi è vera.
  2. èche graficamente rappresenta la figura 1.4.; quindi anche questa è vera.

FIGURA 1.3.
Pasted image 20231011161316.png

FIGURA 1.4.
Pasted image 20231011161334.png

Osservazione 7 (insiemi limitati in ).

Vorrei trovare un modo per definire gli insiemi limitati su un piano .
E' possibile definirlo tramite il seguente: "Se riesco a mettere l'insieme all'interno di una sfera di raggio , allora esso è limitato."
Graficamente si ha la figura 1.5..

FIGURA 1.5.
Pasted image 20231011161349.png

Definizione 8 (insieme superiormente illimitato).

Un insieme si dice superiormente illimitato quando neghiamo che è superiormente limitato; ovvero ovvero che graficamente vuol dire che ad ogni che fissiamo, esiste sempre un valore che è più grande di (figura 1.6.).

FIGURA 1.6.
Pasted image 20231011161409.png

Il discorso è analogo per insiemi inferiormente illimitati e insiemi illimitati.

2. Maggioranti, massimi; minoranti e minimi

Definizione 9 (maggioranti e minoranti).

Sia , .
Se , (ovvero è limitato inferiormente) il valore si dice un maggiorante di .
Analogamente, se , , m è minorante di quando .

Definizione 10 (massimi e minimi).

Siano , , se:

  • è maggiorante di e

  • allora è il massimo di .

Analogamente, se e , allora definisco il minimo di :

Proposizione 11 (l'unicità del massimo e/o del minimo).

Sia un insieme limitato inferiormente.
Suppongo che esistano due massimi di , ; si avrebbe allora , in quanto può esistere solo il massimo di .

DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.1. (Proposizione 11 (l'unicità del massimo e/o del minimo))
Per assurdo suppongo che . Per definizione del massimo, e Quindi combinando le (1) e (2), abbiamo Il discorso è analogo per il minimo di .

Esempio 12 (Esempio 2.1.).

Consideriamo l'intervallo ci chiediamo se questo intervallo ha maggioranti e/o minorante e se ha massimo e/o minimo.

  1. ha sia maggioranti che minoranti, infatti possiamo porre e ; ma possiamo anche porre e .
    Allora definiamo l'insieme dei maggioranti di , e l'insieme dei minoranti di ,
  2. Però non ha né massimi né minimi.
    Infatti devo provare che se , allora NON può essere il massimo di .
    Tracciando l'intervallo e segnando un punto all'interno, riesco a trovare un elemento più grande di ? Sì, se considero la media aritmetica tra e . Infatti Analogo il discorso per i minimi

3. Estremi superiori e inferiori

Dall'esempio 2.1. abbiamo un problema interessante; ovvero "gli insiemi limitati hanno sempre massimo e minimo?".
La risposta è no, da quanto visto prima; però è interessante osservare che esiste sempre il "miglior" maggiorante e il "miglior" minorante. Ora li vediamo.

Definizione 13 (estremo superiore e inferiore).

Sia superiormente limitato.
Chiamo l'estremo superiore di il minimo dell'insieme dei maggioranti di ().

Sia inferiormente limitato.
Chiamo l'estremo inferiore di il massimo dell'insieme dei minoranti di ().

4. Teoremi sugli estremi superiori (e inferiori)

Teorema 14 (dell'esistenza dell'estremo superiore).

Sia , , e superiormente limitato, allora è

DIMOSTRAZIONE del teorema 4.1. (Teorema 14 (dell'esistenza dell'estremo superiore))
Per ipotesi, abbiamo e .
Sia quindi ; allora (in quanto è non vuoto).
e per definizione del maggiorante di , Osservo quindi che posso applicare l'assioma di Dedekind (o di separazione) per gli insiemi e . Pertanto In particolare vuol dire che è maggiorante di A; allora vuol dire che è il minimo dei maggioranti di A.
Quindi, per definizione è l'estremo superiore di .

Esercizio 15 (Esercizio 4.1.).

Dimostrare che se e è inferiormente limitato, allora èDato che per ipotesi è non vuota ed è inferiormente limitata, allora sicuramente per la definizione di minorante. Osserviamo che si può applicare l'assioma S); quindi sicuramente Ovvero è il massimo di ed è un minorante di . Ovvero l'estremo inferiore di .

Teorema 16 (le proprietà dell'estremo superiore).

Sia , , .
In parole semplici, la (1) vuol dire che è un maggiorante di ; la (2) invece vuol dire che per qualsiasi valore positivo, allora non è maggiorante di .

DIMOSTRAZIONE del teorema 4.2. (Teorema 16 (le proprietà dell'estremo superiore))
Sia , cioè se è il minimo dei maggioranti di .
Ma allora innanzitutto è un maggiorante di (1)
Ma quindi è il minimo dei maggioranti di ; quindi se sottraggo ad qualsiasi valore positivo, non è più un maggiorante di . Pertanto scrivo ovvero la (2).
Volendo si può ragionare anche sulla viceversa, partendo dai presupposti (1) e (2) e verificando che vogliono dire le stesse cose.

Teorema 17 (le proprietà dell'estremo inferiore).

Sia , , .

5. Esempio generale

Esempio 18 (Esempio 5.1.).

Considero Voglio trovare le seguenti: , , , .

  1. Il primo passo è quello di fare un disegno che rappresenta per poter "visualizzare" l'insieme . (figura 5.1.)

Quindi vediamo che

  1. è quindi limitato, da quanto si può evincere dal disegno; infatti scegliamo , .
  2. Siccome , per il teorema 4.1. (o esercizio 4.1. per esattezza), posso trovare e ;
    In quanto, per il teorema 4.2.è
  3. Possiamo trovare il maggiorante . Questo in quanto In particolare si verifica che è l'estremo superiore.
    Però se si sceglie , sicuramente si verifica ovvero per qualunque si scelga, esiste un abbastanza grande da poter superare .
  4. Quindi e non esiste .

FIGURA 5.1.
Pasted image 20231011161432.png

Osservazione 19 (l'esistenza del massimo implica l'esistenza dell'estremo superiore).

Se un insieme ha un minimo (o massimo ), allora tale valore è l'estremo inferiore (o estremo superiore ). Però il contrario non deve necessariamente valere, come visto sopra.

E. Conseguenza dell'esistenza dell'estremo superiore

Conseguenze dell'esistenza dell'estremo superiore
Conseguenze dell'esistenza dell'estremo superiore

Alcuni importanti dei numeri reali come conseguenza del teorema dell'esistenza dell'estremo superiore, numeri naturali come sottoinsieme di , proprietà di Archimede, " diventa piccolo quanto si vuole", densità di in . Intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati; teorema di Cantor, forma forte del teorema di Cantor

0. Preambolo

Osservando Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore, notiamo che per qualunque insieme superiormente limitato deve esistere un estremo superiore. Da questo discendono a cascata una serie di proprietà (o teoremi) importanti.
Richiamiamo dunque il seguente teorema:

Teorema 1 (Esistenza di .).

Sia , , e superiormente limitato.
Allora
è

1. è superiormente illimitato

Teorema 2 ( è superiormente illimitato.).

è superiormente illimitato. Ovvero non è superiormente limitato.
Infatti nei numeri reali possiamo trovare i numeri naturali .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (Teorema 2 ( è superiormente illimitato.))
Per assurdo suppongo che esista un maggiorante di tale che Quindi è sia non vuoto che superiormente limitato. Da ciò (secondo il teorema dell'esistenza dell'estremo superiore) discende che esista il superiore estremo ; Ora applico la proprietà (2) degli estremi superiori con ; ovvero Ma allora il che è assurdo in quanto si troverebbe un numero che supera l'estremo superiore.

2. Proprietà di Archimede; Archimedeità di

Teorema 3 (Archimedeità di .).

Siano ove , (l'idea sarebbe che è un numero arbitrariamente piccolo, invece un numero arbitrariamente grande), allora vale la seguente:
Ovvero prendendo un piccolo arbitrariamente piccolo e possibile farlo sommare volte e superare il numero arbitrariamente grande .

FIGURA 2.1. (Rappresentazione grafica della proprietà di Archimede)
Pasted image 20231011161506.png

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (Teorema 3 (Archimedeità di .))
Suppongo (per assurdo) che questo teorema non è vero; ovvero negandolo, abbiamo ovvero non saremo mai in grado di superare .
Allora definendo l'insieme di tutti i numeri "ottenuti" sommando a se stesso volte, questo è superiormente limitato per supposizione (anche non vuoto).
Sia allora Applico la seconda proprietà dell'estremo superiore , con quello inserito nella ipotesi, ovvero ma allora consegue che che implicherebbe l'esistenza di un numero moltiplicato per che supera , il che è un assurdo.

diventa piccolo quanto si vuole

Corollario 4 ( diventa piccolo.).

Sia (un numero piccolo).
Allora
ovvero prendendo un numero arbitrariamente piccolo, deve esistere un che sarà ancora più piccolo del numero piccolo scelto.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (Corollario 4 ( diventa piccolo.))
Considero la proprietà di Archimede (Teorema 3 (Archimedeità di .)) ove fisso e .
Pertanto, Ora, dividendo per da ambo le parti

3. Densità di in

Teorema 5 (Densità dei razionali nei reali.).

Si dice che è denso in , ovvero siano con , allora esiste tale che
quindi tra due numeri reali possiamo sempre trovarci un numero razionale.

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (Teorema 5 (Densità dei razionali nei reali.))
Per la dimostrazione tratteremo di tre casi distinti; ovvero

  1. Quando non c'è nulla da dimostrare, in quanto abbiamo già .
  2. Quando allora possiamo invertire i segni, ottenendo la situazione nella figura 3.1.; quindi , che troveremo, va bene.
  3. Quando , l'unico caso da trattare:
    Innanzitutto chiamo la distanza tra i due punti (e per forza dev'essere maggiore di , in quanto ).
    Dopodiché, usando il teorema 3.1. (Teorema 5 (Densità dei razionali nei reali.)), abbiamo che Ora, per il principio di Archimede (Teorema 3 (Archimedeità di .)), abbiamo (con e ) che Quindi, aggiungendo da tutte le parti e considerando l'ultimo punto ho, e sicuramente so che non può essere che in quanto . (ovvero il salto per arrivare a sarebbe troppo "grande")
    Graficamente, la situazione è descritta nella figura 3.2..

FIGURA 3.1.
Pasted image 20231011161525.png

FIGURA 3.2.
Pasted image 20231011161541.png

4. Teorema di Cantor

Forma debole

Teorema 6 (Teorema di Cantor, forma debole.).

Sia una successione di intervalli chiusi, limitati e inscatolati; allora l'intersezione di tutti gli intervalli è non-vuota.

Osservazione 7 (la rappresentazione degli intervalli di Cantor).

Tutti gli intervalli si rappresentano graficamente come si fa nella figura 4.1..

FIGURA 4.1. (Osservazione 4.1.)
Pasted image 20231011161612.png

Osservazione 8 (il tipo degli intervalli scelti è una condizione necessaria).

Notiamo che il fatto che gli intervalli debbono essere chiusi è una condizione necessaria al teorema 4.1. (Teorema 6 (Teorema di Cantor, forma debole.)); infatti troviamo un controesempio per cui non vale il teorema debole di Cantor quando consideriamo insiemi aperti o illimitati.

Esempio 9 (Esempio 4.1.).

Consideriamo gli intervalli Che graficamente viene rappresentato nella figura 4.2..
Notiamo che l'intersezione di tutti gli intervalli in questo caso viene ;

FIGURA 4.2. (Esempio 4.1.)
Pasted image 20231011161624.png

DIMOSTRAZIONE dell'esempio 4.1. (Esempio 9 (Esempio 4.1.))
Consideriamo i seguenti due casi:

  1. Se , allora automaticamente non sta all'interno di nessun intervallo .
  2. Se , allora per la proprietà di Archimede (Teorema 3 (Archimedeità di .)) allora sta al dì fuori dell'intervallo Pertanto non ci sono elementi comuni, rendendo l'intersezione di tutti gli intervalli l'insieme vuoto .
Esempio 10 (Esempio 4.2.).

Consideriamo ora degli intervalli illimitati (ovvero non limitati); di nuovo il teorema non vale.
Ho Che graficamente viene rappresentato mediante la figura 4.3.
Supponiamo di scegliere un punto nell'intorno (ovvero ); allora per la proprietà di Archimede (Teorema 3 (Archimedeità di .)) esisterà un intorno che lo supera.
Quindi se ad ogni punto fissiamo un intorno vi è sempre un intorno che supera quel punto fissato; pertanto l'intersezione di tutti gli insiemi è .

FIGURA 4.3. (Esempio 4.2.)
Pasted image 20231011161642.png

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Cantor, forma debole (Teorema 6 (Teorema di Cantor, forma debole.))
Consideriamo gli insiemi come gli "estremi sinistri" e come gli "estremi destri".
Inoltre ho Se si vuole verificare la "proprietà" appena enunciata, allora si può considerare due casi:

  1. ; si avrebbe ; che graficamente equivale alla figura 4.4.; pertanto è intuibile che .
  2. ; si avrebbe in questo caso che graficamente equivale alla figura 4.5.; stesso discorso di prima, è intuibile che .

Ora chiamo , il quale è garantito in quanto è limitato superiormente (infatti abbiamo dalla proprietà appena enunciata abbiamo che è il maggiorante di )
Dato che abbiamo il minorante dei maggioranti di (ovvero ), da qui segue che è inferiormente limitato. (oppure dato che )

Allora chiamo e ho Graficamente ho la figura 4.6..
Io ho quindi Allora Anzi, sapendo dalla seconda proprietà degli estremi superiori (o estremi inferiori) abbiamo che se scegliamo un (per un ), allora esiste un tale che ; di conseguenza sta al di fuori dell'intervallo ; analogamente se scegliamo un (per un ), allora esiste un tale che ,
Graficamente ho la figura 4.7..
Di conseguenza Pertanto si può sicuramente affermare che

FIGURA 4.4.
Pasted image 20231011161656.png

FIGURA 4.5.
Pasted image 20231011161706.png

FIGURA 4.6. (Idea iniziale)
Pasted image 20231011161719.png

FIGURA 4.7. (Situazione finale)
Pasted image 20231011161734.png

Forma forte

Teorema 11 (Teorema di Cantor, forma forte.).

Sia una successione di intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati; allora l'intersezione di tutti gli intervalli deve contenere un unico punto ;

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di cantor, forma forte (Teorema 11 (Teorema di Cantor, forma forte.))
La forma debole dello stesso teorema (Teorema 6 (Teorema di Cantor, forma debole.)) mi dice che dove è l'estremo superiore degli "estremi sinistri" e l'estremo inferiore degli "estremi destri" .
Ora, considerando che gli insiemi sono pure dimezzati, so che (Osservazione 9 (la lunghezza di un elemento di intervalli chiusi, inscatolati e dimezzati)):
èOra mi ricordo che (che può essere dimostrata per induzione)
Allora si può "maggiorare" l'espressione di prima, ovveroovviamente ricordandosi di cambiare il verso in quanto i numeri li troviamo al denominatore.
Ora, supponendo per assurdo che ovvero nel senso che l'intervallo ha più di un elemento, allora avremmo che ovvero che però per teorema 2.1. (Teorema 3 (Archimedeità di .)) è impossibile, ovvero nel caso che abbiamo ora stiamo descrivendo che esiste un punto maggiore di che non è raggiungibile da (quando invece è vero che tutti i punti sono raggiungibili da tale espressione).
Quindi, per assurdo, raggiungiamo alla conclusione che ovvero abbiamo l'intorno che comprende solo il punto .

Table Of Contents
A. Richiami sui Z, Q
1. La costruzione dei numeri interi
2. La costruzione dei numeri razionali
B. Assiomi AMDOS dei R
1. Preambolo
2. Assiomi A)
3. Assiomi M)
4. Assioma D)
5. Assiomi O)
6. Assioma S) (di Dedekind o di separazione)
C. Intervalli
1. Intervalli limitati
2. Intervalli illimitati
3. Successione di intervalli
Intervalli inscatolati e dimezzati
D. Insiemi limitati, maggioranti, estremo superiore
1. Insiemi limitati
2. Maggioranti, massimi; minoranti e minimi
3. Estremi superiori e inferiori
4. Teoremi sugli estremi superiori (e inferiori)
5. Esempio generale
E. Conseguenza dell'esistenza dell'estremo superiore
0. Preambolo
  1. è superiormente illimitato
  1. Proprietà di Archimede; Archimedeità di

diventa piccolo quanto si vuole

  1. Densità di in
4. Teorema di Cantor
Forma debole
Forma forte