data: 2023-10-05
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Numeri Reali - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"A. Richiami sui Z, Q
Tutto sui numeri reali
data: 2023-10-05
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Richiami sui Numeri Razionali
tipologia: appunti
stato: "1"Richiami sui Numeri Razionali (propedeutica per studiare i numeri reali): la costruzione dei numeri interi
Osserviamo che a partire dai numeri naturalinumeri naturali
Tuttavia questa non è sufficiente in quanto questa costruzione non ci permette di fare un'altra operazione molto importante, ovvero la divisione
Quindi a partire da
Tuttavia non posso misurare tutto; infatti se voglio descrivere un oggetto geometrico con i numeri, ovvero un quadrato con il lato
Infatti questo segmento si dice una grandezza incommensurabile.
Non esistono
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^4b9050Teorema 3 (l'incommensurabilità di
Qui ragioniamo per assurdo; ipotizziamo che la tesi sia vera invece che falsa, poi per trovare un assurdo, una contraddizione.
CONCLUSIONE. Quindi i numeri razionali
data: 2023-10-05
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Assiomi dei Numeri Reali
tipologia: appunti
stato: "1"Assiomi dei numeri reali
Definiamo quindi il campo
#Assioma
Esiste un insieme
A1) La proprietà associativa:
#Assioma
E' definita in
M1) Proprietà associativa:
#Assioma
E' possibile individuare una proprietà che collega le operazioni di somma
D1) Proprietà distributiva:
#Assioma
In
O1) Compatibilità di
Notiamo che avendo definito
#Assioma
S) Siano
FIGURA S.1. (L'assioma di Dedekind)
Questa proprietà non vale per
data: 2023-10-09
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Intervalli
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di intervalli. Intervalli limitati, aperti, chiusi, inscatolati e dimezzati. Alcuni esempi
Siano
Intervallo chiuso compresi gli estremi
FIGURA 1.1. (Alcuni esempi di intervalli limitati)
Se, invece consideriamo
Intervallo inferiormente illimitato
Si può definire
Può essere comodo pensare che anche l'insieme con un unico punto
Notare che
Sia
Allora
Gli intervalli si dicono inscatolati se
FIGURA 3.1. (Intervalli inscatolati)
Una successione di intervalli
Notiamo che se prendiamo un
Ricorsivamente si mostra che la lunghezza diventa
data: 2023-10-09
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore
tipologia: appunti
stato: "1"Tutte le definizioni sugli insiemi limitati e illimitati, maggioranti e minoranti, massimi e minimi, e tutte le proprietà.
Sia
FIGURA 1.1.
Considero
FIGURA 1.2.
Infatti se si scelgono
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (^54b805Proposizione 6 (condizione necessaria e sufficiente dell'insieme limitato))
Da quanto visto in ConnettiviConnettivi, basta dimostrare che entrambe le implicazioni sono vere; ovvero
FIGURA 1.3.
FIGURA 1.4.
Vorrei trovare un modo per definire gli insiemi limitati su un piano
E' possibile definirlo tramite il seguente: "Se riesco a mettere l'insieme
Graficamente si ha la figura 1.5..
FIGURA 1.5.
Un insieme
FIGURA 1.6.
Il discorso è analogo per insiemi inferiormente illimitati e insiemi illimitati.
Sia
Se
Analogamente, se
Siano
Analogamente, se
Sia
Suppongo che esistano due massimi di
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.1. (^85bb5aProposizione 11 (l'unicità del massimo e/o del minimo))
Per assurdo suppongo che
Consideriamo l'intervallol'intervallo
Dall'esempio 2.1. abbiamo un problema interessante; ovvero "gli insiemi limitati hanno sempre massimo e minimo?".
La risposta è no, da quanto visto prima; però è interessante osservare che esiste sempre il "miglior" maggiorante e il "miglior" minorante. Ora li vediamo.
Sia
Chiamo l'estremo superiore di
Sia
Chiamo l'estremo inferiore di
Sia
DIMOSTRAZIONE del teorema 4.1. (^1e6decTeorema 14 (dell'esistenza dell'estremo superiore))
Per ipotesi, abbiamo
Sia quindi
e per definizione del maggiorante di
Quindi, per definizione
Dimostrare che se
Sia
DIMOSTRAZIONE del teorema 4.2. (^601040Teorema 16 (le proprietà dell'estremo superiore))
Sia
Ma allora innanzitutto
Ma quindi
Volendo si può ragionare anche sulla viceversa, partendo dai presupposti (1) e (2) e verificando che vogliono dire le stesse cose.
Sia
Considero
Quindi vediamo che
FIGURA 5.1.
Se un insieme ha un minimo
data: 2023-10-09
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Conseguenze dell'esistenza dell'estremo superiore
tipologia: appunti
stato: "1"Alcuni importanti dei numeri reali
Osservando Insiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superioreInsiemi limitati, maggioranti, massimo e teorema dell'estremo superiore, notiamo che per qualunque insieme superiormente limitato deve esistere un estremo superiore. Da questo discendono a cascata una serie di proprietà (o teoremi) importanti.
Richiamiamo dunque il seguente teorema:
Sia
Allora
Infatti nei numeri reali
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^8eb65aTeorema 2 (
Per assurdo suppongo che esista un
Siano
FIGURA 2.1. (Rappresentazione grafica della proprietà di Archimede)
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1. (^d95d40Teorema 3 (Archimedeità di
Suppongo (per assurdo) che questo teorema non è vero; ovvero negandolo, abbiamo
Allora definendo
Sia allora
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (^16a1feCorollario 4 (
Considero la proprietà di Archimede (^d95d40Teorema 3 (Archimedeità di
Pertanto,
Si dice che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 3.1. (^e279b1Teorema 5 (Densità dei razionali nei reali.))
Per la dimostrazione tratteremo di tre casi distinti; ovvero
FIGURA 3.1.
FIGURA 3.2.
Considerando gli intervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzatiintervalli chiusi, limitati, inscatolati e dimezzati, abbiamo il seguente teorema.
Sia
Tutti gli intervalli si rappresentano graficamente come si fa nella figura 4.1..
FIGURA 4.1. (Osservazione 4.1.)
Notiamo che il fatto che gli intervalli debbono essere chiusi è una condizione necessaria al teorema 4.1. (^a981eaTeorema 6 (Teorema di Cantor, forma debole.)); infatti troviamo un controesempio per cui non vale il teorema debole di Cantor quando consideriamo insiemi aperti o illimitati.
Consideriamo gli intervalli
Notiamo che l'intersezione di tutti gli intervalli in questo caso viene
FIGURA 4.2. (Esempio 4.1.)
DIMOSTRAZIONE dell'esempio 4.1. (^493112Esempio 9 (Esempio 4.1.))
Consideriamo i seguenti due casi:
Consideriamo ora degli intervalli illimitati (ovvero non limitati); di nuovo il teorema non vale.
Ho
Supponiamo di scegliere un punto
Quindi se ad ogni punto
FIGURA 4.3. (Esempio 4.2.)
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di Cantor, forma debole (^a981eaTeorema 6 (Teorema di Cantor, forma debole.))
Consideriamo gli insiemi
Ora chiamo
Dato che abbiamo il minorante dei maggioranti di
Allora chiamo
Io ho quindi
Graficamente ho la figura 4.7..
Di conseguenza
FIGURA 4.4.
FIGURA 4.5.
FIGURA 4.6. (Idea iniziale)
FIGURA 4.7. (Situazione finale)
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di cantor, forma forte (^78d038Teorema 11 (Teorema di Cantor, forma forte.))
La forma debole dello stesso teorema (^a981eaTeorema 6 (Teorema di Cantor, forma debole.)) mi dice che
Ora, considerando che gli insiemi sono pure dimezzati, so che (Intervalli > ^7942faOsservazione 9 (la lunghezza di un elemento di intervalli chiusi, inscatolati e dimezzati)):
Allora si può "maggiorare" l'espressione di prima, ovvero
Ora, supponendo per assurdo che
Quindi, per assurdo, raggiungiamo alla conclusione che